初中数学必考 | 轻松掌握几何辅助线的添加方法

三角形中常见辅助线的添加

一、与角平分线有关的：

1.可向两边作垂线。

2.可作平行线，构造等腰三角形   

3.在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形   

二、与线段长度相关的：

1.截长：

证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，经常在较长的线段上截取一段，使得它和其中的一条相等，再利用全等或相似证明余下的等于另一条线段即可。

2.补短：

证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，也可以在较短的线段上延长一段，使得延长的部分等于另外一条较短的线段，再利用全等或相似证明延长后的线段等于那一条长线段即可。

3.倍长中线：

题目中如果出现了三角形的中线，方法是将中线延长一倍，再将端点连结，便可得到全等三角形。

4.遇到中点，考虑中位线或等腰等边中的三线合一。

三、与等腰等边三角形相关的：

1.考虑三线合一   

2.旋转一定的度数，构造全都三角形，等腰一般旋转顶角的度数，等边旋转60 °

四边形中常见辅助线的添加

特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形。在解决一些和四边形有关的问题时往往需要添加辅助线。

一、和平行四边形有关的辅助线作法：

平行四边形是常见的特殊四边形之一，它有许多可以利用性质，为了利用这些性质往往需要添加辅助线构造平行四边形。

1.利用一组对边平行且相等构造平行四边形 

2.利用两组对边平行构造平行四边形  

3.利用对角线互相平分构造平行四边形

二、与矩形有辅助线作法：

1.计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题。

2.证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题。和矩形有关的试题的辅助线的作法较少。

三、和菱形有关的辅助线的作法：

和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题。

1.作菱形的高 2.连结菱形的对角线 

四、与正方形有关辅助线的作法：

正方形是一种完美的几何图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，有关正方形的试题较多。解决正方形的问题有时需要作辅助线，作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线。

五、与梯形有关的辅助线的作法：

和梯形有关的辅助线的作法是较多的.主要涉及以下几种类型：

1.作一腰的平行线构造平行四边形和特殊三角形  

2.作梯形的高，构造矩形和直角三角形   

3.作一对角线的平行线，构造直角三角形和平行四边形  

4.延长两腰构成三角形  

5.作两腰的平行线等

圆中常见辅助线的添加

一、遇到弦时（解决有关弦的问题时）

常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。

作用：①利用垂径定理；②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。

二、遇到有直径时：

常常添加（画）直径所对的圆周角。

作用：利用圆周角的性质得到直角或直角三角形。

三、遇到90度的圆周角时：

常常连结两条弦没有公共点的另一端点。

作用：利用圆周角的性质，可得到直径。

四、遇到弦时：

常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。

作用：①可得等腰三角形；②据圆周角的性质可得相等的圆周角。

五、遇到有切线时：

1.常常添加过切点的半径（连结圆心和切点）      

作用：利用切线的性质定理可得OA⊥AB，得到直角或直角三角。

2.常常添加连结圆上一点和切点    

作用：可构成弦切角，从而利用弦切角定理。

六、遇到证明某一直线是圆的切线时：

1.若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段。

作用：若OA=r，则L为切线

2.若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径） 

作用：只需证OA⊥L，则L为切线

3.有遇到圆上或圆外一点作圆的切线 

七、遇到两相交切线时（切线长）：

常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。    

作用：据切线长及其它性质，可得到：

①角、线段的等量关系；②垂直关系；③全等、相似三角形

八、遇到三角形的内切圆时：

连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段。

作用：利用内心的性质，可得到：

①内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线；

②内心到三角形三条边的距离相等。

九、遇到三角形的外接圆时：

连结外心和各顶点。

作用：外心到三角形各顶点的距离相等。

十、遇到两圆外离时：

（解决有关两圆的外、内公切线的问题）常常作出过切点的半径、连心线、平移公切线，或平移连心线

作用：①利用切线的性质；②利用解直角三角形的有关知识。

十一、遇到两圆相交时：

常常作公共弦、两圆连心线、连结交点和圆心等

作用：①利用连心线的性质、解直角三角形有关知识；②利用圆内接四边形的性质；③利用两圆公共的圆周的性质；④ 垂径定理

十二、遇到两圆相切时：

常常作连心线、公切线

作用：①利用连心线性质；②切线性质等

十三、遇到三个圆两两外切时：

常常作每两个圆的连心线        

作用：可利用连心线性质

十四、遇到四边形对角互补或两个三角形同底并在底的同向且有相等“顶角”时：常常添加辅助圆 

作用：以便利用圆的性质