吴军博士: 你们都问我“怎样培养孩子的数学思维?答案在这里.....

是谷歌公司的智能搜索科学家，腾讯公司的前副总裁，同时也是硅谷著名的风险投资人、畅销书作家。 这次谈话主要探讨数学思维对各自的帮助，为什么一定要学数学？ 01 为什么要谈数学这个话题呢 刘润的大学专业就是数学，但数学这个主题 仍是他不敢讲的。 为什么？ 因为它太难了。 难到让人觉得、线性代数、概率！ 很多人表示工作后再也不会接触数学这些东西了，甚至久而久之数学已经被自己遗忘了。 难道大多数人学数学就是一场无用功吗？ 刘润和吴军老师表示到， 数学是很难解数学题也许很难，也许很难，但是，只要你愿意，培养自己的数学思维其实并不难。 哦？那具体来说，数学思维包括哪些呢？ 给大家分享介绍4种。 这4种数学思维，让刘润和吴军老师都特别受益。 02 后生可畏的小朋友 第*种数学思维，源自于概率论，叫做 从不确定性中找到确定性。 第*种数学思维，源自于概率论，叫做从不确定性中找到确定性。 什么意思？ 假如一件事情成功的概率是20%，是不是就意味着，我重复做这件事5次，就一定能成功呢？ 很多人会这样想，但事实并不是这样。 如果我们把较高的概率定义为成功，那么这件20%成功概率的事，你需要重复做14次。 换句话说， 你只要把这件20%成功概率的事，重复做14次，你就有较高的概率能做成。 计算过程我放在这里，对公式头疼的小朋友可以直接略过。 重复做n次至少有一次成功的概率高， 就相当于重复做n次每一次都不成功的概率是5%， 所以重复做13.42次，你成功的概率能达到95 %。 如果你要达到99%的成功概率，那么你需要重复做21次。 那想达到的成功概率呢？ 对不起，这个世界上没有的概率，所有人想要做成事，都需要一点点运气。 我们经常说， 正确的事情，要重复做。 它其实就是概率论的自然语言表述。 正确的事情通常指的是有较高成功概率的事情。 了解概率论之后，我们也能够对重复的结果有一定的量化预测。 在商业领域，20%的成功*已经不低了。 如果重复14次，成功*就能达到95%。 因此，我们应该认识到创业的成功*较低，因此在做融资预算时需要考虑到多次尝试的成本。 很多人都想过，如果我在一个领域成功的概率只有1%，那么我要找到20个领域才有20%的成功*，对吗？ 如果我们仍把95%作为成功的标准，那么1%的成功*需要经过298次尝试才能达到。而这还只是在一个领域内。 有人会问，是选择成为一个全才，尝试20个领域，更容易成功呢？ 还是成为一个专才，在一个领域深入发展，更容易成功呢？ 理解了这个事情，你就会明白，创业需要专注。 不要涉足太多事情，否则成功的概率会大大降低。 举例来说，如果你本来有20%的成功概率，但是涉及的领域太多，只剩下了1%的成功概率，你的成功可能性就会更低。 但是，只要专注于做本身成功概率就很高的事情，你的成功概率就接近。 我们学习概率论不是为了去仅仅算题，而是为了理解这种思考方式。 在人生的选择中，我们可以选取那条极有可能成功的道路 03 大学为什么要学微积分 第二种，叫做用动态的眼光看问题。 很多人一听说微积分，想到那些复杂的微分方程、积分方程，就头疼。 别怕。 我们今天不谈方程，只谈微积分的思维方式。 微积分的思维方式其实特别简单，也正因为简单到，所以非常漂亮。 微积分是牛顿发明的。他为什么要发明微积分呢？ 是为了虐死后世的我们吗？ 当然不是。 其实在牛顿以前，人们对速度这些变量的了解，仅限于平均值的层面。 比如，某个物体在一段时间内运动了一定距离，我们可以计算出它的平均速度。 但是，物体的运动速度是随着时间变化的，平均值并不能完全描述它的运动轨迹。 因此，牛顿想要了解更加细致和精确的物体运动轨迹，就需要发明微积分。 微积分思维的核心就是用动态的眼光看问题。 比如，一个球从山顶滚下来，我们可以先观察它在不同高度处的速度，然后通过微积分的方法，求出它的加速度和运动轨迹。 微积分的思维方式非常适合用于解决不确定性和变化性很强的实际问题，比如金融风险管理、天气预报等。 因此，微积分被誉为第二种数学思维，帮助人们更好地理解自然界和社会现象。 牛顿利用无穷小的概念发明了微分，帮助人们了解瞬间的规律。 而积分则反映了瞬间变量的积累效应。 这就是微积分的基本概念。 我们可以通过一个简单的例子来理解微积分。当一个物体静止不动时，你为它推了一下，它会瞬间产生一个加速度。但是，并不会瞬间产生速度。加速度需要累积一段时间，才会转化为速度。同样地，速度不会瞬间产生位移。速度需要累积一段时间，才会转化为位移。 在宏观层面上，我们观察到的是物体的位移，但在微观层面上，它的运动是从加速度开始的。 加速度逐渐累积成速度，速度又逐渐累积成位移，这就是积分的过程。 换句话说，物体之所以会有位移，是因为速度在一段时间内不断累积；而物体之所以会有速度，是因为加速度在一段时间内不断作用。因此，位移的一阶导数是速度，速度的一阶导数是加速度。 在宏观层面上，我们所看到的是物体的位移，而在微观层面上看，实际上是每个瞬间速度的积累。 因此位移的导数，是从宏观回到微观，观察物体“瞬间”速度的方法。 这就是微分。 那么，微积分对我们的日常生活到底有什么用呢？ 理解了微积分，你看问题的眼光，就会从静态变为动态。 什么意思？ 加速度累积，变成速度；速度累积，变成位移。其实人也是一样。 今晚你虽然努力学习了，但一晚上的付出并不会立刻转化为你的能力。 只有经过一段时间的积累，你的努力才会转化为实际能力。 即使你已经拥有了能力，也不会立即带来优异的*。 只有持续积累，经过一段时间的努力，你的能力才会转化为真正的*。 即使你获得了一次*，也不会立刻得到领导的认可和赏识。 只有经过一段时间的持续成长和发展，你的*才会得到认可和赏识。 因此，从努力、到能力、到*、再到赏识，这是一个渐进的过程，也需要持续的积分效应。 生活中很多人，开始努力第一天就会抱怨领导为什么不赏识他们。 但他们忘了，成功需要持续苦干并不断积累。 即使一个人表现出色，他也不会马上得到领导的认可和赏识。 只有经过一段时间的持续成长和发展，*才会得到认可和赏识。 相反地，一些人可能一直工作表现很好，但因为某些原因开始慢慢懈怠，这并不会马上影响他的能力。 它可能需要几个月的时间才会显示出来。 比如，做事情开始变得不够得心应手，结果领导也开始越来越看不上他的成果。 然而，这其实是一个积分效应，是过去懈怠的结果。 微积分的思维方式可以解决这一问题。 它观察事物的变化，不是立即呈现结果，而是通过持续积累和动态变化，最终呈现出来。 这种思维方式需要长期的持续努力，才能获得成功。 比如，少年虽然积累不多，但如果导速足够快，几年后就会产生巨大的积累效应。 吴军老师还建议年轻人不要在乎第*份薪水，而要关注增速（导数）。 如果理解微积分的思维方式，能够用动态的眼光来看问题，就能避免犯错误，拥有平衡的心态，并经历一个长期的增长期，最终获得成功。 所以，在出了问题时，需要从宏观角度一直追溯到微观，才可能找到问题的根源。 04 公理体系 这个世界上，总有一些奇怪的“错过”。 公理体系 是一种数学思维方式，源自于几何学。 通过确定少数基本公理，从而确定其它与之相关的性质和定理。 以欧氏几何学为例，它包括了5条基本公理，也称为公设： 1、任意两个点可以通过一条直线连接。 2、任意线段能无限延长成一条直线。 3、给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径画一个圆。 4、所有直角都全等。 5、若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角和，则这两条直线在这一边必定相交。 公理是一种被公认，并具有自明性的命题。 在欧氏几何中，只有这5条公理被认为是*基本的，其余所有的定理或者命题，都是从这5条公理出发，利用纯逻辑推理的方法推导出来的。 因此，公理可以理解为欧氏几何的树根，而其余定理和命题则是树干和枝叶。 例如，欧氏几何的5条公理可以推导出许多定理，比如每一条线的角度都是180度、三角形的内角和等于180度、过直线外的一点，有且只有一条直线和已知直线平行等等。 这些定理贡献了欧氏几何庞大的公理体系。 使用公理体系的优点在于可以保证推导出来的定理的准确性，而公理的自明性则使得底层的假设具有高度的可信度。 公理体系可以被扩展到其他领域，帮助人们系统化和严谨化理解各种复杂的问题和逻辑关系。 在另一门几何学的分支——罗巴切夫斯基几何中，公理体系不同。 因此，从罗巴切夫斯基几何的公理出发可以推导出三角形内角和小于180度以及过直线外的一点，至少有两条直线和已知直线平行，与欧氏几何完全不同。 罗巴切夫斯基几何用于曲面上的几何问题，与欧氏几何不冲突。 制定不同的公理将得到完全不同的知识体系，在生活中十分重要。 每家公司都有自己的愿景、使命、价值观或公司基因或文化，决定了公司的行为和决策方向。 一家公司的愿景、使命、价值观相当于公理，构成了公司的公理体系。 公理体系完全自洽，一旦完备，公司就不需要老板做决定，因为公理能推导出所有定理。 公司遇到问题时，只需根据公理推导新的法则（定理），不需要改变公理。 如果公司需要老板做决定或规章制度、工作流程、决策行为与愿景、使命、价值观不符，通常是因为公理还不完备或推导过程出现问题。需要一步步搭建公理体系。 刘润曾对公司的小伙伴说： 我在公司只做三件事：设置责权利，捍卫价值观，和做一只安静的内容奶牛。 关于责权利法则，我们只有一条公理：创造*大价值的人，获得*大的收益。 所有的制度安排，都是我用我有限的智商，根据这条公理，推演出的定理。 任何制度安排（定理），如果违背了的公理，那一定是我的智商不够用导致的。 我会为我的智商道歉，然后坚定地修改制度安排（定理）。 如果我拒不改正，或者对公理有动摇，请毅然决然地离开我。 那个我，不值得你们跟随。我们因为有相同的公理体系，而彼此成就。 公理没有对错，不需要被证明，公理是一种选择，是一种共识，是一种基准原则。 制定不同的公理，就会得到完全不同的公理体系，也就会得到完全不同的结果。 05 数字的“方向性” 代数中的第四种数学思维叫做 数字的方向性。 我们最初学习自然数，其中包括0和正整数：0、1、2、3、4、5等等。 接着是整数，包含自然数和负整数：……-3、-2、-1、0、1、2、3等等。 然后是有理数，包括整数和分数。 在学习分数之前，数字在我们的认知中是离散的，一个一个的点。 但有了分数，数字就开始连续起来了。 这就像在生活中，一开始看事物只有对和错、大和小。 然而慢慢地认识到，事物并不是那么简单，它们有灰度。 有理数之后，我们学习了无理数。 无理数指无限不循环小数，比如π。 任何有理数都可由两数相除获得。 但无理数是无限不循环的小数，你找不到任何规律。 这认识告诉我们，有些事情很复杂，没有规律。 π就是π，根号就是根号，它们就是非常复杂，不要用简单粗暴的方式定义它们。 要承认它们的客观存在，承认这个世界的复杂性。 数字除了大小，还有个极其重要的属性：方向。 在数学上，有方向的数字称为向量。 数字其实有方向。这个认识对我们的生活有什么用呢？ 举个例子。 假设你今天正在往东拉一只箱子，你用了30牛的力，这时另一个人来了，非要往西拉箱子，他的力只有20牛。 结果如何呢？ 这个箱子仍然会跟随你往东走，但只剩下10N的力，速度会变慢。 在公司里，两个人都很有能力，如果他们合作一致往一个方向使，形成合力，这是*好的结果。 但如果他们的能力不能一致，相反还相互牵制，可能不如完全交给其中一个人来处理。 还有一种情况，做同一件事情，有人想往东走，有人想往西走，有人想往北走，不知道哪个方向是正确的。 那么该怎么办呢？ 让大家去做吧。虽然方向不同，可能会相互牵制，力的大小会受损。 但最终，事情的走向会是相对正确的方向。 最后的话 今天给大家分享的文章很长。 其实不难发现，我们如果善用数学思维，自然是可以帮助我们轻松地解决一下困难。 许多人学数学，这些知识在高考交卷的那一刻就已经被我们丢弃了，难免可惜， 如果可以做到在学习数学的阶段能够去把数学融入生活转变为思维，才应当是学习数学真真的价值！ 在这一点上， 培飞思维培飞思维馆的每一位老师把抽象的思维概念，通过教具、游戏具象化，更容易让孩子形成大脑记忆，并且专为孩子定制的教程，更容易让思维在孩子脑中生根发芽。

你 “在看” 我吗？